15. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = t^3/6 + 5t^2/2 + 28, где S — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Решение:

Скорость материальной точки является производной от пройденного пути по времени: \( v(t) = S'(t) \).

Дано: \( S(t) = \frac{t^3}{6} + \frac{5t^2}{2} + 28 \).

Найдем производную:

\( v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^3}{6} + \frac{5t^2}{2} + 28 \right) \)

\( v(t) = \frac{3t^2}{6} + \frac{5 \cdot 2t}{2} + 0 \)

\( v(t) = \frac{t^2}{2} + 5t \).

По условию, скорость равна 6 м/с. Приравниваем производную к 6:

\( \frac{t^2}{2} + 5t = 6 \).

Умножим обе части уравнения на 2:

\( t^2 + 10t = 12 \).

Перенесём все члены в левую часть:

\( t^2 + 10t - 12 = 0 \).

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 100 + 48 = 148 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} \).

Найдём корни:

\( t_1 = \frac{-10 + 2\sqrt{37}}{2} = -5 + \sqrt{37} \).

\( t_2 = \frac{-10 - 2\sqrt{37}}{2} = -5 - \sqrt{37} \).

Так как время \( t \) не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

\( \sqrt{37} \) примерно равно \( 6.08 \).

\( t_1 ≈ -5 + 6.08 = 1.08 \) секунд.

\( t_2 \) отрицательно.

Ответ: \( -5 + \sqrt{37} \) секунд.