15. (1 балл) Найдите область определения функции: y = lg (4x-2)/(x-1)

Решение:

Для логарифмической функции аргумент должен быть строго больше нуля. Кроме того, знаменатель дроби не может быть равен нулю.

1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ \frac{4x-2}{x-1} > 0 \]

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни числителя и знаменателя:

\( 4x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \)

\( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

Расставим знаки на числовой оси:

При \( x < \frac{1}{2} \), например \( x = 0 \): \( \frac{-2}{-1} = 2 > 0 \).

При \( \frac{1}{2} < x < 1 \), например \( x = 0.75 \): \( \frac{4(0.75)-2}{0.75-1} = \frac{3-2}{-0.25} = \frac{1}{-0.25} = -4 < 0 \).

При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( \frac{4(2)-2}{2-1} = \frac{6}{1} = 6 > 0 \).

Таким образом, неравенство \( \frac{4x-2}{x-1} > 0 \) выполняется при \( x < \frac{1}{2} \) или \( x > 1 \).

2. Знаменатель не равен нулю:

\( x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \).

Это условие уже учтено при решении неравенства.

Область определения функции:

\( x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \)

Ответ: Область определения функции: \( x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \).