2. (3 балла) Найдите все решения уравнения 2cosx + sin x / cosx - 7 sin x = - 1/2, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным относительно тригонометрических функций. Перепишем его, применив основное свойство пропорции:

\[ \frac{2 \cos x + \sin x}{\cos x - 7 \sin x} = -\frac{1}{2} \]

Умножим обе части на \( 2(\cos x - 7 \sin x) \), при условии, что \( \cos x - 7 \sin x \neq 0 \):

\[ 2(2 \cos x + \sin x) = -1(\cos x - 7 \sin x) \]

\[ 4 \cos x + 2 \sin x = -\cos x + 7 \sin x \]

Соберём все члены с \( \cos x \) в одной части, а с \( \sin x \) — в другой:

\[ 4 \cos x + \cos x = 7 \sin x - 2 \sin x \]

\[ 5 \cos x = 5 \sin x \]

Разделим обе части на \( \cos x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \)):

\[ 5 = 5 \frac{\sin x}{\cos x} \]

\[ 5 = 5 \tan x \]

\[ \tan x = 1 \]

Теперь найдём решения уравнения \( \tan x = 1 \) в отрезке \( [-\pi; \pi] \).

Основное решение для \( \tan x = 1 \) — это \( x = \frac{\pi}{4} \).

Учитывая периодичность тангенса (период \( \pi \)), общее решение будет \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) — целое число.

Подставим значения \( k \) для получения решений в отрезке \( [-\pi; \pi] \):

• Если \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \). Это значение принадлежит отрезку \( [-\pi; \pi] \).
• Если \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \). Это значение больше \( \pi \), поэтому не входит в отрезок.
• Если \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \). Это значение принадлежит отрезку \( [-\pi; \pi] \).
• Если \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \). Это значение меньше \( -\pi \), поэтому не входит в отрезок.

Проверим условие \( \cos x - 7 \sin x \neq 0 \) для найденных решений:

• Для \( x = \frac{\pi}{4} \): \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \( \frac{\sqrt{2}}{2} - 7\frac{\sqrt{2}}{2} = -6\frac{\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2} \neq 0 \).
• Для \( x = -\frac{3\pi}{4} \): \( \cos(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). \( -\frac{\sqrt{2}}{2} - 7(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{7\sqrt{2}}{2} = 6\frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \neq 0 \).

Также проверим условие \( \cos x \neq 0 \). При \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = -\frac{3\pi}{4} \), \( \cos x \neq 0 \).

Таким образом, найденные решения подходят.

Ответ: Решения уравнения, принадлежащие отрезку \( [-\pi; \pi] \), равны \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = -\frac{3\pi}{4} \).