15. (3 балла) Решите уравнение: (9-х²)√2 + x =0.

Решение:

Дано уравнение: \( (9-x^2)√{2} + x = 0 \).

Перенесем \( x \) в правую часть:

\( (9-x^2)√{2} = -x \)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\( ((9-x^2)√{2})^2 = (-x)^2 \)

\( (9-x^2)^2 · 2 = x^2 \)

\( (81 - 18x^2 + x^4) · 2 = x^2 \)

\( 162 - 36x^2 + 2x^4 = x^2 \)

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

\( 2x^4 - 37x^2 + 162 = 0 \)

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( y = x^2 \), где \( y ≥ 0 \):

\( 2y^2 - 37y + 162 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 · 2 · 162 = 1369 - 1296 = 73 \)

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = \frac{37 + √{73}}{4} \)

\( y_2 = \frac{37 - √{73}}{4} \)

Теперь вернемся к замене \( x^2 = y \):

\( x^2 = \frac{37 + √{73}}{4} \) \(⇒\) \( x = \pm\sqrt{\frac{37 + √{73}}{4}} = \pm\frac{√{37 + √{73}}}{2} \)

\( x^2 = \frac{37 - √{73}}{4} \) \(⇒\) \( x = \pm\sqrt{\frac{37 - √{73}}{4}} = \pm\frac{√{37 - √{73}}}{2} \)

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению \( (9-x^2)√{2} = -x \). Для этого нужно, чтобы \( -x \) имело тот же знак, что и \( (9-x^2)√{2} \). Поскольку \( √{2} > 0 \), то \( 9-x^2 \) должно быть того же знака, что и \( -x \), то есть \( 9-x^2 ≤ 0 \), или \( x^2 ≥ 9 \).

Рассмотрим \( y_1 = \frac{37 + √{73}}{4} \). \( √{73} \) примерно \( 8.5 \). \( y_1 ≈ \frac{37 + 8.5}{4} = \frac{45.5}{4} ≈ 11.375 \). Так как \( 11.375 > 9 \), корни \( x = \pm\frac{√{37 + √{73}}}{2} \) подходят.

Рассмотрим \( y_2 = \frac{37 - √{73}}{4} \). \( y_2 ≈ \frac{37 - 8.5}{4} = \frac{28.5}{4} ≈ 7.125 \). Так как \( 7.125 < 9 \), корни \( x = \pm\frac{√{37 - √{73}}}{2} \) не подходят.

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = \frac{√{37 + √{73}}}{2} \) и \( x_2 = -\frac{√{37 + √{73}}}{2} \).

Ответ: \( x = \pm\frac{√{37 + √{73}}}{2} \).