18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y=х+1 и y=2х² и при помощи интеграла найдите ее площадь

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций \( y = x+1 \) и \( y = 2x^2 \).

Приравняем правые части уравнений:

\( 2x^2 = x+1 \)

\( 2x^2 - x - 1 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = (-1)^2 - 4 · 2 · (-1) = 1 + 8 = 9 \).

Найдем корни \( x \):

\( x_1 = \frac{1 - √{9}}{2 · 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

\( x_2 = \frac{1 + √{9}}{2 · 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x = -\frac{1}{2} \): \( y = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \). Точка пересечения \( A(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \).

При \( x = 1 \): \( y = 1 + 1 = 2 \). Точка пересечения \( B(1; 2) \).

2. Построим графики функций:

\( y = 2x^2 \) — парабола с вершиной в начале координат, ветвями вверх.

\( y = x+1 \) — прямая, проходящая через точки \( (-1; 0) \) и \( (0; 1) \).

3. Найдем площадь фигуры, ограниченной этими графиками, используя определенный интеграл:

Площадь \( S \) равна интегралу от разности верхней функции (прямой) и нижней функции (параболы) по пределам от \( -\frac{1}{2} \) до \( 1 \).

\( S = ∫_{-1/2}^{1} ((x+1) - 2x^2) dx \)

\( S = ∫_{-1/2}^{1} (-2x^2 + x + 1) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = -2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = F(1) - F(-\frac{1}{2}) \)

\( F(1) = -2\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{-4 + 3 + 6}{6} = \frac{5}{6} \)

\( F(-\frac{1}{2}) = -2\frac{(-\frac{1}{2})^3}{3} + \frac{(-\frac{1}{2})^2}{2} + (-\frac{1}{2}) \)

\( F(-\frac{1}{2}) = -2\frac{-\frac{1}{8}}{3} + \frac{\frac{1}{4}}{2} - \frac{1}{2} \)

\( F(-\frac{1}{2}) = -2(-\frac{1}{24}) + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \)

\( F(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \)

Приведем к общему знаменателю 24:

\( F(-\frac{1}{2}) = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} - \frac{12}{24} = \frac{2+3-12}{24} = \frac{-7}{24} \)

\( S = \frac{5}{6} - (-\frac{7}{24}) = \frac{5}{6} + \frac{7}{24} \)

Приведем к общему знаменателю 24:

\( S = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{8} \) квадратных единиц.