15. (3 балла) Решите уравнение: (9-x²)√2 + x =0.

Решение:

Перенесем \( x \) в правую часть:

\( (9-x^2)\√{2} = -x \)

Разделим обе части на \( \\u221A{2} \):

\( 9-x^2 = -\frac{x}{\√{2}} \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( x^2 - \frac{x}{\√{2}} - 9 = 0 \)

Это квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a=1 \), \( b=-\frac{1}{\√{2}}} = -\frac{\√{2}}}{2} \), \( c=-9 \).

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{\√{2}}}{2}\right)^2 - 4(1)(-9) = \frac{2}{4} + 36 = \frac{1}{2} + 36 = \frac{1+72}{2} = \frac{73}{2} \]

Найдем корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{\√{2}}/2 + \sqrt{73/2}}{2(1)} = \frac{\√{2}}/2 + \frac{\√{73}}{\√{2}}}{2} = \frac{\√{2}}/2 + \frac{\√{146}}}{2} = \frac{\√{2}} + \sqrt{146}}{4} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{\√{2}}/2 - \sqrt{73/2}}{2(1)} = \frac{\√{2}}/2 - \frac{\√{73}}{\√{2}}}{2} = \frac{\√{2}}/2 - \frac{\√{146}}}{2} = \frac{\√{2}} - \sqrt{146}}{4} \]

Ответ: \( x_1 = \frac{\√{2}} + \sqrt{146}}{4} \), \( x_2 = \frac{\√{2}} - \sqrt{146}}{4} \).