15. (3 балла) Решите уравнение: (9-x²)√2 + x =0.

Решение:

Перенесем \( x \) в правую часть уравнения:

\( (9-x^2)\sqrt{2} = -x \)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( ((9-x^2)\sqrt{2})^2 = (-x)^2 \)

\( (9-x^2)^2 \cdot 2 = x^2 \)

\( (81 - 18x^2 + x^4) \cdot 2 = x^2 \)

\( 162 - 36x^2 + 2x^4 = x^2 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( 2x^4 - 36x^2 - x^2 + 162 = 0 \)

\( 2x^4 - 37x^2 + 162 = 0 \)

Сделаем замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2y^2 - 37y + 162 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 162 = 1369 - 1296 = 73 \).

\( y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{37 \pm \sqrt{73}}{4} \).

Теперь вернемся к замене \( x^2 = y \):

1) \( x^2 = \frac{37 + \sqrt{73}}{4} \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{37 + \sqrt{73}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \)

2) \( x^2 = \frac{37 - \sqrt{73}}{4} \)

\( x = \pm \sqrt{\frac{37 - \sqrt{73}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \)

Важно проверить полученные корни в исходном уравнении, так как мы возводили обе части в квадрат.

В исходном уравнении \( (9-x^2)\sqrt{2} = -x \), из чего следует, что \( -x \) и \( (9-x^2)\sqrt{2} \) должны иметь одинаковый знак. Так как \( \sqrt{2} > 0 \), то \( (9-x^2) \) и \( -x \) должны иметь одинаковый знак.

Рассмотрим первый случай: \( x = \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \) (положительное значение). Тогда \( -x \) будет отрицательным. Необходимо проверить знак \( 9-x^2 \). \( x^2 = \frac{37 + \sqrt{73}}{4} \approx \frac{37+8.5}{4} = \frac{45.5}{4} \approx 11.4 \).

\( 9 - x^2 = 9 - \frac{37 + \sqrt{73}}{4} = \frac{36 - 37 - \sqrt{73}}{4} = \frac{-1 - \sqrt{73}}{4} \) (отрицательное).

Знаки \( (9-x^2) \) и \( -x \) совпадают (оба отрицательные), значит, этот корень подходит.

Рассмотрим второй случай: \( x = -\frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2} \) (отрицательное значение). Тогда \( -x \) будет положительным. \( 9-x^2 = 9 - \frac{37 + \sqrt{73}}{4} = \frac{-1 - \sqrt{73}}{4} \) (отрицательное).

Знаки \( (9-x^2) \) и \( -x \) не совпадают, значит, этот корень не подходит.

Рассмотрим третий случай: \( x = \frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \) (положительное значение). Тогда \( -x \) будет отрицательным. \( x^2 = \frac{37 - \sqrt{73}}{4} \approx \frac{37-8.5}{4} = \frac{28.5}{4} \approx 7.1 \).

\( 9 - x^2 = 9 - \frac{37 - \sqrt{73}}{4} = \frac{36 - 37 + \sqrt{73}}{4} = \frac{-1 + \sqrt{73}}{4} \) (положительное).

Знаки \( (9-x^2) \) и \( -x \) не совпадают, значит, этот корень не подходит.

Рассмотрим четвертый случай: \( x = -\frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2} \) (отрицательное значение). Тогда \( -x \) будет положительным. \( 9-x^2 = \frac{-1 + \sqrt{73}}{4} \) (положительное).

Знаки \( (9-x^2) \) и \( -x \) совпадают (оба положительные), значит, этот корень подходит.

Ответ: \(\pm \frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2}\), \(\pm \frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2}\) (после проверки подходят корни \(\frac{\sqrt{37 + \sqrt{73}}}{2}\) и \(-\frac{\sqrt{37 - \sqrt{73}}}{2}\)).