Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Найдем производную функции \( y(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \):
\[ y'(x) = (x^3)' - (\frac{5}{2}x^2)' - (2x)' + (\frac{3}{2})' \]
\[ y'(x) = 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x - 2 + 0 \]
\[ y'(x) = 3x^2 - 5x - 2 \].
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \].
Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49 \).
Корни:
\[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 \].
\[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \].
Критические точки: \( x = -\frac{1}{3} \) и \( x = 2 \).
Определим знаки производной на интервалах:
- При \( x < -\frac{1}{3} \) (например, \( x = -1 \)): \( y'(-1) = 3(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 3 + 5 - 2 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
- При \( -\frac{1}{3} < x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \( y'(0) = 3(0)^2 - 5(0) - 2 = -2 < 0 \). Функция убывает.
- При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( y'(3) = 3(3)^2 - 5(3) - 2 = 3(9) - 15 - 2 = 27 - 15 - 2 = 10 > 0 \). Функция возрастает.
Точки экстремума:
- В точке \( x = -\frac{1}{3} \) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума.
- В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума.
Найдем значения функции в точках экстремума:
\[ y(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - \frac{5}{2}(-\frac{1}{3})^2 - 2(-\frac{1}{3}) + \frac{3}{2} = -\frac{1}{27} - \frac{5}{2}\frac{1}{9} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{27} - \frac{5}{18} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \]
Общий знаменатель: 54.
\[ y(-\frac{1}{3}) = \frac{-2 - 15 + 36 + 81}{54} = \frac{100}{54} = \frac{50}{27} \].
\[ y(2) = (2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 - 2(2) + \frac{3}{2} = 8 - \frac{5}{2}(4) - 4 + \frac{3}{2} = 8 - 10 - 4 + \frac{3}{2} = -6 + \frac{3}{2} = \frac{-12+3}{2} = -\frac{9}{2} \].
Ответ:
- Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -\frac{1}{3}) \) и \( (2, +\infty) \).
- Функция убывает на интервале \( (-\frac{1}{3}, 2) \).
- Точка максимума: \( x = -\frac{1}{3} \), \( y = \frac{50}{27} \).
- Точка минимума: \( x = 2 \), \( y = -\frac{9}{2} \).
