15. (3 балла) Решите уравнение: \(\sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1\)

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( x^2 + 2x + 10 = (2x - 1)^2 \)

\( x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( 0 = 4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 \)

\( 0 = 3x^2 - 6x - 9 \)

Разделим на 3:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

Проверим корни:

Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3^2 + 2 \cdot 3 + 10} = \sqrt{9 + 6 + 10} = \sqrt{25} = 5 \). \( 2x - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5 \). \( 5 = 5 \) — подходит.

Для \( x = -1 \): \( \sqrt{(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 10} = \sqrt{1 - 2 + 10} = \sqrt{9} = 3 \). \( 2x - 1 = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3 \). \( 3 \neq -3 \) — не подходит.

Ответ: 3.