18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций у= х² и у=2х+3 и при помощи интеграла найдите ее площадь.

Решение:

Найдем точки пересечения графиков функций \( y = x^2 \) и \( y = 2x + 3 \).

\( x^2 = 2x + 3 \)

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

\( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 = 1 \). Точка пересечения: (-1; 1).

При \( x = 3 \): \( y = 3^2 = 9 \). Точка пересечения: (3; 9).

Площадь фигуры, ограниченной графиками, вычисляется как интеграл разности функций от нижней до верхней границы:

\( S = \int_{-1}^{3} ((2x + 3) - x^2) dx \)

\( S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx \)

\( S = [-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x]_{-1}^{3} \)

\( S = (-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3)) - (-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1)) \)

\( S = (-\frac{27}{3} + 9 + 9) - (-\frac{-1}{3} + 1 - 3) \)

\( S = (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} - 2) \)

\( S = 9 - (\frac{1 - 6}{3}) \)

\( S = 9 - (-\frac{5}{3}) \)

\( S = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: \(\frac{32}{3}\).