17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию y=1/3х³+х²-3х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Найдем производную функции \( y \):

\( y' = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x)' \)

\( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 3 \)

\( y' = x^2 + 2x - 3 \)

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

\( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)

Определим знаки производной на интервалах:

При \( x < -3 \), например \( x = -4 \): \( y' = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \) (функция возрастает).

При \( -3 < x < 1 \), например \( x = 0 \): \( y' = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 \) (функция убывает).

При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( y' = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \) (функция возрастает).

Точка \( x = -3 \) — точка максимума, так как производная меняет знак с '+' на '-'.

Точка \( x = 1 \) — точка минимума, так как производная меняет знак с '-' на '+'.

Найдем значения функции в точках экстремума:

\( y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \)

\( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \)

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \). Функция убывает на \( [-3; 1] \). Точка максимума: \( (-3; 9) \). Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).