15. (3 балла) Решите уравнение: √x + 1 = x - 5.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2 \)

\( x + 1 = x^2 - 10x + 25 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \)

\( x^2 - 11x + 24 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Проверим полученные корни в исходном уравнении:

Для \( x = 8 \): \( \sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3 \). \( 8 - 5 = 3 \). \( 3 = 3 \). Корень \( x=8 \) подходит.

Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \). \( 3 - 5 = -2 \). \( 2 \neq -2 \). Корень \( x=3 \) не подходит, так как \( x-5 \) должно быть неотрицательным, что выполняется при \( x \ge 5 \).

Ответ: 8.