16. (3 балла) Решите уравнение: 2sin^2x - 5cosx - 5 = 0.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), откуда \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).

Подставим это в уравнение:

\( 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 5 = 0 \)

\( 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x - 5 = 0 \)

\( -2\cos^2 x - 5\cos x - 3 = 0 \)

Умножим на -1:

\( 2\cos^2 x + 5\cos x + 3 = 0 \)

Сделаем замену: \( y = \cos x \). Получим квадратное уравнение:

\( 2y^2 + 5y + 3 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \)

Найдем корни:

\( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

\( y_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \)

Вернемся к замене \( y = \cos x \).

\( \cos x = -1 \) или \( \cos x = -1.5 \).

Уравнение \( \cos x = -1.5 \) не имеет решений, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).

Решаем \( \cos x = -1 \).

\( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).