15. а) Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. б) Сторона равностороннего треугольника равна 20√3. Найдите медиану этого треугольника.

а) Сначала найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

\(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10\).

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

\(S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24\),

\(S=\frac{1}{2}\cdot c\cdot h\).

Следовательно,

\(h=\frac{2S}{c}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}=4.8\).

Ответ: \(4.8\).

б) Медиана равностороннего треугольника является также высотой. Её длина вычисляется по формуле:

\(m=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Подставим \(a=20\sqrt{3}\):

\(m=\frac{20\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{20\cdot 3}{2}=30\).

Ответ: 30.