Контрольные задания
Вопрос:

15. AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол ACB равен 13°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Фото задания: 15. AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол ACB равен 13°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.Фото задания

Ответ:

Задание 15. Углы в окружности

Дано:

  • AC и BD — диаметры окружности с центром O.
  • Угол ACB = 13°.

Найти: угол AOD (в градусах).

Решение:

  1. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, величина дуги AB равна удвоенной величине вписанного угла:
    \( \text{дуга} AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 13° = 26° \).
  2. Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается:
    \( \angle AOB = \text{дуга} AB = 26° \).
  3. Углы AOB и AOD — смежные углы, так как AC — прямая (диаметр). Сумма смежных углов равна 180°.
    \( \angle AOB + \angle AOD = 180° \)
  4. Подставим значение \( \angle AOB \):
    \( 26° + \angle AOD = 180° \)
  5. Найдем \( \angle AOD \):
    \( \angle AOD = 180° - 26° = 154° \).

Альтернативное решение:

  1. Угол ACB опирается на дугу AB.
  2. Угол CAD также опирается на дугу CD.
  3. Угол CBD опирается на дугу CD.
  4. Угол ADB опирается на дугу AB.
  5. Так как AC и BD — диаметры, то точки A, O, C и B, O, D лежат на одной прямой.
  6. Угол ACB = 13° (вписанный). Дуга AB = 2 * 13° = 26°.
  7. Угол ADB тоже вписанный и опирается на дугу AB, значит, угол ADB = 26°.
  8. Рассмотрим треугольник AOD. OA = OD (радиусы), значит, треугольник равнобедренный.
  9. Угол CAD опирается на дугу CD. Дуга CB = 180° (полуокружность). Угол CAB вписанный, опирается на дугу CB, значит, угол CAB = 180°/2 = 90°.
  10. В треугольнике ABC: угол C = 90°, угол ACB = 13°, значит, угол ABC = 180° - 90° - 13° = 77°.
  11. Угол ABC = 77°, он вписанный и опирается на дугу AC. Нет, угол ABC опирается на дугу AC, а не угол ACB.
  12. Давайте вернемся к первому решению.
  13. Угол ACB = 13°. Он является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
  14. Центральный угол AOB также опирается на дугу AB. Следовательно, \( \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 13° = 26° \).
  15. Углы AOD и BOC вертикальные.
  16. Углы AOB и BOC — смежные, их сумма 180°.
    \( \angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 26° = 154° \).
  17. Так как углы AOD и BOC вертикальные, то \( \angle AOD = \angle BOC = 154° \).

Ответ: 154