15. Биссектриса равностороннего треугольника равна \( 13\sqrt{3} \). Найдите сторону этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна \( a \).

Биссектриса (высота) делит противоположную сторону пополам. Получаем прямоугольный треугольник с катетами \( \frac{a}{2} \) и \( h \) (биссектриса/высота), и гипотенузой \( a \).

По теореме Пифагора:

\[ (\frac{a}{2})^2 + h^2 = a^2 \]

Подставим значение биссектрисы \( h = 13\sqrt{3} \):

\[ \frac{a^2}{4} + (13\sqrt{3})^2 = a^2 \]

\[ \frac{a^2}{4} + 169 \times 3 = a^2 \]

\[ \frac{a^2}{4} + 507 = a^2 \]

Вычтем \( \frac{a^2}{4} \) из обеих частей:

\[ 507 = a^2 - \frac{a^2}{4} \]

\[ 507 = \frac{3a^2}{4} \]

Умножим обе части на 4:

\[ 2028 = 3a^2 \]

Разделим на 3:

\[ a^2 = \frac{2028}{3} = 676 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ a = \sqrt{676} = 26 \]

Ответ: 26.