17. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 5. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями BC (меньшее) и AD (большее). Проведём высоту BH из вершины B на основание AD. Тогда BC = HD. Точка H лежит на AD.

Большее основание AD делится точкой H на отрезки AH и HD. По условию, эти отрезки равны 3 и 5. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотой от большего основания, равны \( \frac{AD - BC}{2} \).

Обычно высота, проведённая из угла при меньшем основании, делит большее основание на три отрезка: \( AH \), \( HD \) (равное меньшему основанию \( BC \)), и \( DC_1 \), где \( C_1 \) - проекция C на AD. Если высота проведена из угла при вершине B, то на AD образуются отрезки AH и HD. В равнобедренной трапеции \( AH = D C_1 \), где \( C_1 \) - проекция C на AD.

Пусть \( AH = 3 \) и \( HD = 5 \). Тогда \( AD = AH + HD = 3 + 5 = 8 \).

В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из концов меньшего основания, делят большее основание на три отрезка, средний из которых равен меньшему основанию, а крайние отрезки равны друг другу. Таким образом, если \( AH=3 \) и \( HD=5 \), это значит, что \( AH \) и \( C_1D \) равны, а \( HC_1 \) равно меньшему основанию. Но по условию, высота делит большее основание на отрезки 3 и 5. Это означает, что один из отрезков является проекцией боковой стороны, а другой — меньшим основанием.

Рассмотрим случай, когда из вершины B опущен перпендикуляр BH на AD. Тогда AH = 3, HD = 5. Если AH = 3, то это проекция боковой стороны AB. Тогда BC = HD = 5. Но тогда AD = AH + BC = 3 + 5 = 8. Это противоречит тому, что HD = 5. Значит, меньшему основанию соответствует отрезок большей длины.

Если меньшее основание BC = 5, тогда AD = AH + BC = 3 + 5 = 8. Проверка: \( AH = \frac{AD-BC}{2} = \frac{8-5}{2} = 1.5 \). Этот вариант не подходит.

Рассмотрим случай, когда из вершины B опущен перпендикуляр BH на AD. Отрезки, на которые делится основание AD, равны 3 и 5. В равнобедренной трапеции, если провести высоты из вершин B и C, то основание AD делится на три отрезка: \( AH \), \( BC \) и \( C_1D \). Причем \( AH = C_1D \) и \( BC = HC_1 \). Таким образом, отрезки, на которые делится основание, это \( AH \), \( BC \) и \( C_1D \). Но по условию, высота делит основание на отрезки 3 и 5. Это означает, что один из отрезков является проекцией боковой стороны, а другой — меньшее основание.

Правильно: проведённая из конца меньшего основания (например, из B) высота BH делит большее основание AD на отрезки AH и HD. В равнобедренной трапеции \( AH = \frac{AD - BC}{2} \) и \( HD = BC + \frac{AD - BC}{2} = \frac{AD + BC}{2} \) или \( AH = BC + \frac{AD - BC}{2} \) и \( HD = \frac{AD - BC}{2} \).

Если высота BH делит AD на отрезки AH и HD, то один из них равен проекции боковой стороны, а другой — меньшему основанию плюс эта проекция.

Пусть \( BC = x \). Тогда \( AH = \frac{AD - x}{2} \) и \( HD = x + \frac{AD - x}{2} \).

Если отрезки равны 3 и 5, то либо \( AH = 3 \) и \( HD = 5 \), либо \( AH = 5 \) и \( HD = 3 \).

Случай 1: \( AH = 3 \), \( HD = 5 \).

Тогда \( AD = AH + HD = 3 + 5 = 8 \).

\( AH = \frac{AD - BC}{2} \) => \( 3 = \frac{8 - x}{2} \) => \( 6 = 8 - x \) => \( x = 2 \).

Проверка: \( HD = BC + AH = 2 + 3 = 5 \). Этот случай подходит.

Случай 2: \( AH = 5 \), \( HD = 3 \).

Тогда \( AD = AH + HD = 5 + 3 = 8 \).

\( AH = \frac{AD - BC}{2} \) => \( 5 = \frac{8 - x}{2} \) => \( 10 = 8 - x \) => \( x = -2 \). Длина не может быть отрицательной.

Следовательно, меньшее основание равно 2.

Ответ: 2.