16. Точка О является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 2. Найдите площадь квадрат ABCD.

Решение:

Пусть сторона квадрата ABCD равна \( a \). Тогда CD = \( a \), и точка O является серединой CD, значит, \( CO = OD = \frac{a}{2} \).

Радиус окружности, проведённый из центра O к вершине A, равен 2, то есть \( OA = 2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO. Катеты этого треугольника — стороны квадрата AD = \( a \) и OD = \( \frac{a}{2} \). Гипотенуза — OA = 2.

По теореме Пифагора:

\[ AD^2 + OD^2 = OA^2 \]

\[ a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 2^2 \]

\[ a^2 + \frac{a^2}{4} = 4 \]

\[ \frac{4a^2 + a^2}{4} = 4 \]

\[ \frac{5a^2}{4} = 4 \]

\[ 5a^2 = 16 \]

\[ a^2 = \frac{16}{5} \]

Площадь квадрата ABCD равна \( a^2 \).

Ответ: \( \frac{16}{5} \).