15. Диагональ прямоугольника образует угол 41° с одной из его сторон (см. рис. 49). Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Треугольники \( △ AOB \) и \( △ BOC \) — равнобедренные.

Пусть \( ∠ BAC = 41^\circ \). В прямоугольнике \( ABCD \), \( ∠ BAC \) и \( ∠ ACD \) — углы между диагональю и сторонами.

Если диагональ образует угол \( 41^\circ \) с одной из сторон (например, \( AB \)), то \( ∠ BAC = 41^\circ \).

В равнобедренном треугольнике \( △ AOB \), \( OA = OB \).

Угол \( ∠ OAB = 41^\circ \).

Тогда угол \( ∠ OBA \) в треугольнике \( △ AOB \) равен \( 180^\circ - 90^\circ - 41^\circ = 49^\circ \) (так как \( ∠ ABC = 90^\circ \) и \( ∠ OAB + ∠ OBA = 90^\circ \) в прямоугольном треугольнике \( △ ABC \)).

Угол между диагоналями \( ∠ AOB \) равен \( 180^\circ - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180^\circ - (41^\circ + 49^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \). Это неверно, т.к. угол 41° с СТОРОНОЙ, а не с другой диагональю.

Правильный подход:

Угол между диагональю \( AC \) и стороной \( AB \) равен \( 41^\circ \), то есть \( ∠ CAB = 41^\circ \).

В прямоугольнике \( ABCD \) диагонали \( AC = BD \) и точкой пересечения \( O \) делятся пополам: \( OA = OB = OC = OD \).

Рассмотрим треугольник \( △ AOB \). Он равнобедренный, так как \( OA = OB \).

Угол \( ∠ OAB = ∠ CAB = 41^\circ \).

Угол \( ∠ OBA \) в равнобедренном треугольнике \( △ AOB \) равен \( ∠ OAB \).

Таким образом, \( ∠ OBA = 41^\circ \).

Угол между диагоналями \( ∠ AOB \) равен \( 180^\circ - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180^\circ - (41^\circ + 41^\circ) = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ \).

Это тупой угол. Острый угол между диагоналями равен \( 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ \).

Ответ: 82