16. Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 21 см вписан в окружность (см. рис. 50). Чему равен радиус этой окружности? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, имеет гипотенузу, которая является диаметром этой окружности.

Найдем длину гипотенузы \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]\[ c^2 = 20^2 + 21^2 \]\[ c^2 = 400 + 441 \]\[ c^2 = 841 \]\[ c = \sqrt{841} \]

Чтобы найти \( \sqrt{841} \), можно попробовать подобрать число. Например, \( 20^2 = 400 \) и \( 30^2 = 900 \). Число оканчивается на 1, значит, последняя цифра корня может быть 1 или 9. Попробуем 29:

\[ 29 \times 29 = (30-1)(30-1) = 900 - 30 - 30 + 1 = 841 \]

Итак, гипотенуза \( c = 29 \) см.

Гипотенуза является диаметром окружности. Радиус окружности \( R \) равен половине диаметра:

\[ R = \frac{c}{2} \]\[ R = \frac{29}{2} \]\[ R = 14,5 \] см.

Ответ: 14,5