15. Докажите, что (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ при a ≠ 0, b ≠ 0, n ∈ ℤ.

По определению степени с отрицательным показателем, для любого ненулевого основания x выполняется x⁻ⁿ = 1/xⁿ. Поэтому

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}\).

Применим правило возведения дроби в целую степень: \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\). Тогда

\(\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\frac{b^n}{a^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n\).

Равенство доказано при a ≠ 0 и b ≠ 0.