15. Докажите, что при любом натуральном \(n\) выражение \(n(n+2)(n+3)(n+5)+6\) кратно 6.

Рассмотрим произведение \(n(n+2)(n+3)(n+5)\). Среди четырёх последовательных по подходящим остаткам чисел обязательно есть множитель, кратный 3: если \(n\equiv0\pmod3\), то подходит \(n\); если \(n\equiv1\pmod3\), то подходит \(n+2\); если \(n\equiv2\pmod3\), то подходит \(n+3\). Кроме того, среди чисел \(n\) и \(n+2\) одно чётное, поэтому произведение кратно 2 и 3, то есть кратно 6. Следовательно, сумма этого произведения с 6 также кратна 6.

Доказано.