15. Докажите, что при неотрицательных значениях a и b верно неравенство (a + 1)(b + 1)(ab + 1) > 8ab.

Так как \(a\ge0\) и \(b\ge0\), по неравенству \(x+1\ge2\sqrt{x}\) получаем:

\[a+1\ge2\sqrt a,\qquad b+1\ge2\sqrt b,\qquad ab+1\ge2\sqrt{ab}.\]

Перемножая неотрицательные неравенства, имеем:

\[(a+1)(b+1)(ab+1)\ge 8\sqrt a\sqrt b\sqrt{ab}=8ab.\]

Равенство возможно только при \(a=b=1\). Поэтому строгое неравенство выполняется не для всех неотрицательных \(a,b\): при \(a=b=1\) получаем равенство \(8=8\).

Ответ: в условии, вероятно, должна быть запись \(\ge8ab\). Для неё доказательство приведено выше; запись с \(>\) неверна при \(a=b=1\).