15. Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 216 м². Первый каменщик в день укладывает на 9 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 4 дня быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим производительность первого каменщика как \( x \) м²/день, а второго — как \( y \) м²/день. По условию, \( x = y + 9 \).
2. Шаг 2: Время, которое требуется первому каменщику для выполнения работы: \( t_1 = \frac{216}{x} \) дней.
3. Шаг 3: Время, которое требуется второму каменщику для выполнения работы: \( t_2 = \frac{216}{y} \) дней.
4. Шаг 4: По условию, первый каменщик работает на 4 дня быстрее, значит: \( t_2 = t_1 + 4 \).
5. Шаг 5: Подставляем выражения для времени:
   \( \frac{216}{y} = \frac{216}{x} + 4 \).
6. Шаг 6: Заменяем \( y \) на \( x - 9 \) (так как \( y = x - 9 \) из \( x = y + 9 \)):
   \( \frac{216}{x-9} = \frac{216}{x} + 4 \).
7. Шаг 7: Умножим все члены уравнения на \( x(x-9) \) для избавления от знаменателей:
   \( 216x = 216(x-9) + 4x(x-9) \)
   \( 216x = 216x - 1944 + 4x^2 - 36x \).
8. Шаг 8: Переносим все в одну сторону и приводим подобные члены:
   \( 4x^2 - 36x - 1944 = 0 \).
9. Шаг 9: Делим на 4:
   \( x^2 - 9x - 486 = 0 \).
10. Шаг 10: Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):
    \( D = (-9)^2 - 4(1)(-486) = 81 + 1944 = 2025 \).
    \( \sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45 \).
11. Шаг 11: Находим корни:
    \( x_1 = \frac{-(-9) + 45}{2(1)} = \frac{9+45}{2} = \frac{54}{2} = 27 \).
    \( x_2 = \frac{-(-9) - 45}{2(1)} = \frac{9-45}{2} = \frac{-36}{2} = -18 \).
12. Шаг 12: Так как производительность не может быть отрицательной, выбираем \( x = 27 \).

Ответ: Первый каменщик укладывает 27 квадратных метров плитки в день.