15. Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 448 м². Первый каменщик в день укладывает на 4 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 2 дня быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик?

Решение задачи:

Дано:

• Площадь каждого участка: S = 448 м²
• Разница в производительности: 4 м²/день
• Разница во времени выполнения: 2 дня

Обозначения:

• Пусть x м²/день — производительность второго каменщика.
• Тогда производительность первого каменщика: (x + 4) м²/день.
• Время выполнения работы вторым каменщиком: t₂ = 448 / x (дней)
• Время выполнения работы первым каменщиком: t₁ = 448 / (x + 4) (дней)

Составим уравнение, исходя из разницы во времени:

t₂ - t₁ = 2

\[ \frac{448}{x} - \frac{448}{x+4} = 2 \]

Решим уравнение:

1. Умножим обе части на x(x + 4), чтобы избавиться от знаменателей:

\[ 448(x + 4) - 448x = 2x(x + 4) \]

2. Раскроем скобки:

\[ 448x + 1792 - 448x = 2x^2 + 8x \]

3. Упростим:

\[ 1792 = 2x^2 + 8x \]

4. Перенесем все в одну сторону и разделим на 2:

\[ 2x^2 + 8x - 1792 = 0 \]

\[ x^2 + 4x - 896 = 0 \]

5. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-896) = 16 + 3584 = 3600 \]

6. Найдем корни уравнения:

\[ x₁ = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{3600}}{2(1)} = \frac{-4 + 60}{2} = \frac{56}{2} = 28 \]

\[ x₂ = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 60}{2} = \frac{-64}{2} = -32 \]

7. Поскольку производительность не может быть отрицательной, берем x = 28 м²/день (производительность второго каменщика).
8. Производительность первого каменщика: x + 4 = 28 + 4 = 32 м²/день.

Проверка:

• Время работы первого каменщика: 448 / 32 = 14 дней.
• Время работы второго каменщика: 448 / 28 = 16 дней.
• Разница во времени: 16 - 14 = 2 дня. Условие выполняется.

Ответ: Первый каменщик укладывает 32 м² плитки в день.