15. Катер прошёл по течению реки 72 км, повернул обратно, и прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение.

Решение:

Пусть скорость катера в стоячей воде равна v км/ч. Тогда скорость катера по течению реки будет v + 4 км/ч, а против течения — v - 4 км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{72}{v+4} \) часов.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{54}{v-4} \) часов.

Общее время в пути составляет 5 часов:

\[ t_1 + t_2 = 5 \]

\[ \frac{72}{v+4} + \frac{54}{v-4} = 5 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{72(v-4) + 54(v+4)}{(v+4)(v-4)} = 5 \]

\[ \frac{72v - 288 + 54v + 216}{v^2 - 16} = 5 \]

\[ \frac{126v - 72}{v^2 - 16} = 5 \]

\[ 126v - 72 = 5(v^2 - 16) \]

\[ 126v - 72 = 5v^2 - 80 \]

\[ 5v^2 - 126v - 8 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ v = \frac{-(-126) \pm \sqrt{(-126)^2 - 4(5)(-8)}}{2(5)} \]

\[ v = \frac{126 \pm \sqrt{15876 + 160}}{10} \]

\[ v = \frac{126 \pm \sqrt{16036}}{10} \]

\[ v = \frac{126 \pm 126.63}{10} \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\[ v = \frac{126 + 126.63}{10} = \frac{252.63}{10} \approx 25.26 \]

Проверка: Если v = 25.26, то скорость по течению 29.26, против течения 21.26. Время по течению: 72 / 29.26 ≈ 2.46 часа. Время против течения: 54 / 21.26 ≈ 2.54 часа. Общее время ≈ 5 часов.

Ответ: 25.26