17. Упростите численное выражение \( \sqrt{40 \sqrt{3} - 57} \cdot \sqrt{40 \sqrt{3} + 57} \)

Решение:

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). В данном случае, \( a = \sqrt{40 \sqrt{3}} \) и \( b = 57 \) — это неверно.

Правильное применение формулы разности квадратов:

Пусть \( A = \sqrt{40 \sqrt{3} - 57} \) и \( B = \sqrt{40 \sqrt{3} + 57} \). Нам нужно найти \( A \cdot B \).

Произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений:

\[ \sqrt{40 \sqrt{3} - 57} \cdot \sqrt{40 \sqrt{3} + 57} = \sqrt{(40 \sqrt{3} - 57) \cdot (40 \sqrt{3} + 57)} \]

Теперь применим формулу разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \), где \( x = 40 \sqrt{3} \) и \( y = 57 \).

\[ (40 \sqrt{3})^2 - 57^2 \]

Вычислим квадраты:

\[ (40 \sqrt{3})^2 = 40^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 1600 \cdot 3 = 4800 \]

\[ 57^2 = 3249 \]

Теперь подставим эти значения обратно:

\[ 4800 - 3249 = 1551 \]

Таким образом, выражение под корнем равно 1551. Значит:

\[ \sqrt{1551} \]

Число 1551 не является полным квадратом. Проверим, можно ли его упростить. Разложим на множители: 1551 = 3 * 517. 517 - простое число.

Следовательно, выражение упрощается до \( \sqrt{1551} \).

Ответ: \( \sqrt{1551} \)