15. Медиана равностороннего треугольника равна 11√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Обозначим сторону треугольника как \( a \).

Медиана (высота) делит противолежащую сторону пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой, половиной стороны и другой стороной треугольника. По теореме Пифагора:

\[ (\frac{a}{2})^2 + h^2 = a^2 \]

Где \( h = 11\sqrt{3} \) — медиана.

\[ \frac{a^2}{4} + (11\sqrt{3})^2 = a^2 \]\[ \frac{a^2}{4} + 121 \cdot 3 = a^2 \]\[ \frac{a^2}{4} + 363 = a^2 \]

Вычтем \( \frac{a^2}{4} \) из обеих частей:

\[ 363 = a^2 - \frac{a^2}{4} \]\[ 363 = \frac{4a^2 - a^2}{4} \]\[ 363 = \frac{3a^2}{4} \]

Выразим \( a^2 \):

\[ a^2 = \frac{363 \cdot 4}{3} \]\[ a^2 = 121 \cdot 4 \]\[ a^2 = 484 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ a = \sqrt{484} \]\[ a = 22 \]

Ответ: 22