16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 80°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 16: Угол вписанного четырёхугольника

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \( \angle ABC = 132^\circ \).
• \( \angle CAD = 80^\circ \).

Найти: \( \angle ABD \).

Решение:

1. Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
2. Найдем \( \angle ADC \): \( \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ \).
3. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
4. Угол \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на дугу AD. Значит, \( \angle ABD = \angle ACD \).
5. Угол \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на дугу CD. Значит, \( \angle CBD = \angle CAD = 80^\circ \).
6. Угол \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на дугу BC.
7. Угол \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \) опираются на дугу AB.
8. Рассмотрим \( \angle ADC \). Он состоит из \( \angle ADB + \angle BDC \). Мы знаем, что \( \angle ADC = 48^\circ \).
9. Рассмотрим \( \angle ABC \). Он состоит из \( \angle ABD + \angle CBD \). Мы знаем, что \( \angle ABC = 132^\circ \) и \( \angle CBD = 80^\circ \).
10. Найдем \( \angle ABD \): \( \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 132^\circ - 80^\circ = 52^\circ \).
11. Проверка: Если \( \angle ABD = 52^\circ \), то \( \angle ACD = 52^\circ \).
12. \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 48^\circ \).
13. \( \angle CAD = 80^\circ \).
14. \( \angle BDC \) и \( \angle BAC \) опираются на одну дугу BC.
15. \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) опираются на одну дугу AB.
16. Сумма углов в треугольнике ADC: \( \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 80^\circ + 52^\circ + 48^\circ = 180^\circ \). Это верно.
17. Сумма углов в треугольнике ABD: \( \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB \).
18. Сумма углов в треугольнике BCD: \( \angle CBD + \angle BDC + \angle BCD \).
19. Рассмотрим \( \angle ADC = 48^\circ \).
20. \( \angle ADB \) + \( \angle BDC \) = \( 48^\circ \).
21. Из \( \angle ABD = 52^\circ \), мы нашли искомый угол.

Ответ: 52°.