15. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH. AH = 3, BH = 75. Найдите CH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу. Это следует из подобия треугольников \( \triangle ACH \sim \triangle CBH \).

По теореме о среднем геометрическом для высоты прямоугольного треугольника:

\( CH^2 = AH \cdot BH \)

Подставим известные значения:

\( CH^2 = 3 \cdot 75 \)

\( CH^2 = 225 \)

Извлечём квадратный корень:

\( CH = \sqrt{225} \)

\( CH = 15 \)

Ответ: 15.