Ответ:

Вставляем Н или НН:

  1. Отчаянно — наречие образовано от «отчаянный», сохраняется НН.
  2. Беспрестанно — наречие образовано от «беспрестанный», сохраняется НН.
  3. Рытвины — одна Н в суффиксе -ин-.
  4. Фрагмент перед «ая лошадь» на изображении неразборчив, поэтому слово восстановить достоверно нельзя. Пришлите этот фрагмент целиком.

Независимая часть: Переехав через ручей, наполовину высохший, дрожки отчаянно затрещали по твёрдым корням столетних дубов и лип, беспрестанно перескакивая продольные рытвины, следы тележных колёс.