15) Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 80 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий. Сколько деталей в час делает второй рабочий.

Решение:

Пусть \( x \) — количество деталей, которое делает второй рабочий за час. Тогда первый рабочий делает \( x + 6 \) деталей за час.

Время, которое потребуется второму рабочему для выполнения заказа из 80 деталей: \( \frac{80}{x} \) часов.

Время, которое потребуется первому рабочему для выполнения того же заказа: \( \frac{80}{x+6} \) часов.

По условию, первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее, чем второй. Составим уравнение:

1. Уравнение:

\[ \frac{80}{x} - \frac{80}{x+6} = 4 \]

2. Умножим обе части уравнения на \( x(x+6) \) (при условии, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq -6 \)):

\[ 80(x+6) - 80x = 4x(x+6) \]

3. Раскроем скобки:

\[ 80x + 480 - 80x = 4x^2 + 24x \]

\[ 480 = 4x^2 + 24x \]

4. Перенесём все члены уравнения в правую часть и разделим на 4:

\[ 4x^2 + 24x - 480 = 0 \]

\[ x^2 + 6x - 120 = 0 \]

5. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 36 + 480 = 516 \]

6. Найдём \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{516} = \sqrt{4 \cdot 129} = 2\sqrt{129} \]

7. Найдём корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{129}}{2} = -3 + \sqrt{129} \]

\[ x_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{129}}{2} = -3 - \sqrt{129} \]

8. Так как \( x \) — количество деталей в час, он должен быть положительным. \( \sqrt{129} \) приблизительно 11.36.

\[ x_1 \approx -3 + 11.36 = 8.36 \]

\[ x_2 \approx -3 - 11.36 = -14.36 \]

9. Выбираем положительный корень: \( x = -3 + \sqrt{129} \).

Ответ: второй рабочий делает \( -3 + \sqrt{129} \) деталей в час.