15. Сторона AB острого треугольника ABC равна 12. В треугольнике проведена медиана CM и высота CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Пусть H лежит на AB, а длины отрезков AH и HB равны соответственно x и y. Тогда x + y = 12.

Так как CH — высота, треугольники CHB и CHM прямоугольные. По теореме Пифагора и условию CM = CB:

\(CM^2 = CH^2 + x^2\), \(CB^2 = CH^2 + y^2\), поэтому \(x^2=y^2\). Поскольку x и y положительны, x=y.

Значит, \(AH=AB/2=12/2=6\).

Ответ: 6.