15. Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 24. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как CM — медиана, точка M является серединой AB:

\(AM=MB=\frac{24}{2}=12\).

Введём координаты: \(A(0,0)\), \(B(24,0)\), \(M(12,0)\), а \(C(x,h)\). Условие \(CM=CB\) даёт:

\((x-12)^2+h^2=(x-24)^2+h^2\).

После сокращения:

\((x-12)^2=(x-24)^2\), откуда \(x=18\).

Высота CH опускается на основание AB в точку \(H\), поэтому \(AH=x=18\).

Ответ: 18