15. Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 36. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM=CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как \(CM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AB\):

\[AM=MB=\frac{36}{2}=18.\]

Обозначим \(AH=x\), а высоту \(CH=h\). Тогда \(MH=x-18\), \(BH=36-x\).

Из условия \(CM=CB\):

\[(x-18)^2+h^2=(36-x)^2+h^2.\]

Сокращая \(h^2\), получаем:

\[(x-18)^2=(36-x)^2.\]

Так как \(H\) лежит между \(M\) и \(B\), имеем \(x-18=36-x\). Следовательно:

\[2x=54,\qquad x=27.\]

Ответ: 27