15. Тип 15 № 348634. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 169°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как AB ∥ CD, угол между диагональю AC и стороной CD равен углу между AC и AB. Следовательно, ∠BAC = ∠ACD = 169°? Угол ∠ACD образован лучами CA и CD, тогда соответствующий угол между AC и AB равен смежному с ним: ∠BAC = 180° − 169° = 11°.

В треугольнике ABC имеем AC = 2AB и угол между AB и AC равен 11°. Обозначим через θ угол между диагоналями. По векторной геометрии диагонали параллелограмма имеют направления AB + AD и AD − AB; однако по данным длины AC и AB и угол между AC и AB определяется только треугольник ABC, тогда как направление BD зависит от BC (равно AD) и из этих данных однозначно не определяется.

На самом деле AC — диагональ, поэтому в треугольнике ABC известны AB, AC и ∠BAC, но длина BC определяется, а диагональ BD зависит от стороны AD = BC и направления. При этом сторона BC однозначно определяется теоремой косинусов, значит и вторая диагональ определяется как вектор BD = BC − AB. Угол между AC и BD можно найти из координат.

Положим AB = 1, направим AB по горизонтали, а AC длины 2 под углом 11° к AB. Тогда вектор AC = (2 cos 11°, 2 sin 11°), а BC = AC − AB = (2 cos 11° − 1, 2 sin 11°). Диагональ BD имеет вектор BC − AB = (2 cos 11° − 2, 2 sin 11°). Угол между AC и BD, вычисленный по скалярному произведению, составляет 84,5° (округлённо).

Но при стандартном понимании ∠ACD = 169° из параллельности AB ∥ CD следует, что угол между AC и AB равен 11°. Тогда точное значение угла между диагоналями зависит от тригонометрического выражения и не является целым числом градусов, хотя задача просит ответ в градусах. Уточните, пожалуйста, читается ли заданный угол как 169°.