15. Тип 15 № 352277. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 96 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

Поскольку ВМ — медиана, то М — середина стороны АС. Следовательно, АМ = МС = АС / 2 = 96 / 2 = 48.

В треугольнике ВМС МС = 48, ВС = ВМ. Это означает, что треугольник ВМС — равнобедренный.

ВН — высота, значит, ∠ВНС = 90°.

В равнобедренном треугольнике ВМС, высота Н, проведенная из вершины В к основанию МС, является также медианой. Следовательно, Н — середина МС.

МН = НС = МС / 2 = 48 / 2 = 24.

Теперь рассмотрим треугольник АНВ. Он является прямоугольным, так как ВН — высота.

Мы знаем, что МС = 48 и НС = 24. Поскольку М — середина АС, а Н — середина МС, то:

АН = АМ + МН = 48 + 24 = 72.

Ответ: 72