15. Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN : NB = 1 : 2. а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD. б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью CMN, если все рёбра пирамиды равны 6.

а) Введём координаты:

\[A(-3,-3,0),\ B(3,-3,0),\ C(3,3,0),\ D(-3,3,0),\ S(0,0,3\sqrt2).\]

Высота пирамиды равна \(3\sqrt2\), так как расстояние от центра квадрата до вершины основания равно \(3\sqrt2\).

Так как \(M\) — середина \(SA\), а \(SN:NB=1:2\), получаем:

\[M\left(-\frac32,-\frac32,\frac{3\sqrt2}{2}\right),\qquad N\left(1,-1,2\sqrt2\right).\]

Тогда

\[\overrightarrow{CM}=\left(-\frac92,-\frac92,\frac{3\sqrt2}{2}\right),\]

\[\overrightarrow{CN}=(-2,-4,2\sqrt2),\qquad \overrightarrow{SD}=(-3,3,-3\sqrt2).\]

Непосредственно проверяем:

\[\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{CM}-3\overrightarrow{CN}.\]

Значит, вектор \(\overrightarrow{SD}\) является линейной комбинацией двух направляющих векторов плоскости \(CMN\). Следовательно, прямая \(SD\) параллельна плоскости \(CMN\).

б) Плоскость сечения пересекает рёбра \(BC\) и \(AD\) в точках \(P\) и \(Q\). В выбранных координатах:

\[P=(3,0,0),\qquad Q=(-3,0,0).\]

Сечение — пятиугольник \(CPNMQ\). Разобьём его на три треугольника:

\[S_{CPN}=3\sqrt3,\]

\[S_{CNM}=\frac{3\sqrt{19}}2,\]

\[S_{CMQ}=\frac{3\sqrt{19}}4.\]

Тогда площадь сечения равна

\[S=3\sqrt3+\frac{3\sqrt{19}}2+\frac{3\sqrt{19}}4=3\sqrt3+\frac{9\sqrt{19}}4.\]

Ответ: \(S_{сечения}=3\sqrt3+\frac{9\sqrt{19}}4\).