15. Точки P и Q — середины рёбер AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно. а) Докажите, что прямые B₁P и QB перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 10.

Введём координаты при длине ребра куба 10: A(0; 0; 0), B(10; 0; 0), C(10; 10; 0), D(0; 10; 0), B₁(10; 0; 10), C₁(10; 10; 10). Тогда P(0; 5; 0), Q(10; 10; 5).

а) Направляющие векторы прямых B₁P и BQ можно взять равными \(\overrightarrow{B₁P}=(-10;5;-10)\) и \(\overrightarrow{BQ}=(0;10;5)\). Их скалярное произведение: \((-10)\cdot0+5\cdot10+(-10)\cdot5=0\). Следовательно, прямые перпендикулярны.

б) Плоскость сечения проходит через P и перпендикулярна BQ, поэтому её нормаль параллельна \(\overrightarrow{BQ}=(0;10;5)\). Уравнение плоскости через P: \(10(y-5)+5z=0\), то есть \(2y+z=10\).

В плоскости yz след сечения соединяет точки (y; z) = (0; 10) и (5; 0). Его длина равна \(\sqrt{5^2+10^2}=5\sqrt{5}\). Сечение — прямоугольник с другой стороной, равной ребру куба, 10. Поэтому его площадь \(S=10\cdot5\sqrt{5}=50\sqrt{5}\).

Ответ: а) B₁P ⟂ BQ; б) \(50\sqrt{5}\).