16. Решите неравенство: $\dfrac{\log_2 x-5}{1-2\log_2 x}\ge 2\log_2 x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 16. Решите неравенство: $\dfrac{\log_2 x-5}{1-2\log_2 x}\ge 2\log_2 x$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $x>0$, $1-2\log_2 x\ne0$, то есть $\log_2 x\ne\frac12$.

Положим $t=\log_2 x$. Перенесём всё в левую часть и приведём к общей дроби:

\[\frac{t-5}{1-2t}-2t=\frac{4t^2-t-5}{1-2t}=\frac{(t+1)(4t-5)}{1-2t}\ge0.\]

Критические точки: $-1$, $\frac12$ (знаменатель равен нулю), $\frac54$. По знакам множителей получаем $t\in(-\infty;-1]\cup(\frac12;\frac54]$.

Возвращаемся к переменной x, учитывая, что функция $2^t$ возрастает:

\[x\in(0;2^{-1}]\cup(2^{1/2};2^{5/4}].\]

Ответ: $x\in(0;\frac12]\cup(\sqrt2;2^{5/4}]$.

16. Решите неравенство: \(\dfrac{\log_2 x-5}{1-2\log_2 x}\ge 2\log_2 x\).