17. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области рабочие объединены в две бригады, одна из которых добывает алюминий, а другая — никель, причём для добычи x кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y² человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

В первой области доступно \(160\cdot5=800\) человеко-часов. При производительности 0,1 кг в час за сутки можно добыть не более \(800\cdot0{,}1=80\) кг металла.

Во второй области пусть добывают x кг алюминия и y кг никеля. На это нужно \(x^2+y^2\) человеко-часов, а всего доступно 800, поэтому \(x^2+y^2\le800\). Поскольку металлы взаимозаменяемы килограмм к килограмму, требуется максимизировать их суммарную массу \(x+y\).

По неравенству \((x+y)^2\le2(x^2+y^2)\) получаем \((x+y)^2\le1600\), значит, \(x+y\le40\). Равенство достигается при \(x=y=20\): тогда затраты труда составляют \(20^2+20^2=800\) человеко-часов.

Итого максимально можно добыть \(80+40=120\) кг металлов.

Ответ: 120 кг.