15. Три прямые попарно перпендикулярны. Пересекаются ли они? Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Любые две из этих прямых пересекаются, поскольку они перпендикулярны. Обозначим прямые через l₁, l₂, l₃. Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке P и определяют плоскость α.

Прямая l₃ пересекает l₁ в точке A, а l₂ — в точке B. Если A = B, все три прямые имеют общую точку. Если A ≠ B, точки A и B лежат в плоскости α, поэтому прямая AB, то есть l₃, лежит в α. Значит, все три прямые лежат в одной плоскости.

В данном случае вариант с одной плоскостью невозможен: в плоскости через одну точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Поэтому три различные прямые, попарно перпендикулярные, не могут лежать в одной плоскости.

Ответ: все три прямые имеют общую точку.