15. У треугольника со сторонами 10 и 15 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 3. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение:

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами, используя разные стороны и соответствующие им высоты. Формула площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \), где \( a \) — сторона треугольника, а \( h_a \) — высота, проведённая к этой стороне.

По условию задачи:

• Первая сторона \( a_1 = 10 \)
• Вторая сторона \( a_2 = 15 \)
• Высота, проведённая к первой стороне, \( h_1 = 3 \)

Найдем площадь треугольника, используя первую сторону и её высоту:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \]

Теперь используем ту же площадь и вторую сторону, чтобы найти высоту, проведённую ко второй стороне (обозначим её \( h_2 \)):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot h_2 \]\[ 15 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h_2 \]

Решим уравнение относительно \( h_2 \):

\[ 15 \cdot 2 = 15 \cdot h_2 \]\[ 30 = 15 \cdot h_2 \]\[ h_2 = \frac{30}{15} \]\[ h_2 = 2 \]

Ответ: 2