15. Упростите выражение: 1) \(\frac{x-3}{4x^2+24x+36} : (\frac{x}{3x-9} - \frac{3}{x^2+3x} + \frac{x^2+9}{27-3x^2})\)

Решение:

Разложим знаменатели на множители:

• \( 4x^2+24x+36 = 4(x^2+6x+9) = 4(x+3)^2 \)
• \( 3x-9 = 3(x-3) \)
• \( x^2+3x = x(x+3) \)
• \( 27-3x^2 = 3(9-x^2) = 3(3-x)(3+x) = -3(x-3)(x+3) \)

Преобразуем выражение в скобках:

\( \frac{x}{3(x-3)} - \frac{3}{x(x+3)} + \frac{x^2+9}{-3(x-3)(x+3)} \)

Приведём к общему знаменателю \( 3x(x-3)(x+3) \):

\( \frac{x · x(x+3)}{3x(x-3)(x+3)} - \frac{3 · 3(x-3)}{3x(x-3)(x+3)} - \frac{(x^2+9) · x}{3x(x-3)(x+3)} \)

\( = \frac{x^2(x+3) - 9(x-3) - x(x^2+9)}{3x(x-3)(x+3)} \)

\( = \frac{x^3+3x^2 - 9x+27 - x^3-9x}{3x(x-3)(x+3)} \)

\( = \frac{3x^2-18x+27}{3x(x-3)(x+3)} = \frac{3(x^2-6x+9)}{3x(x-3)(x+3)} = \frac{3(x-3)^2}{3x(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{x(x+3)} \)

Теперь выполним деление:

\( \frac{x-3}{4(x+3)^2} : \frac{x-3}{x(x+3)} = \frac{x-3}{4(x+3)^2} \cdot \frac{x(x+3)}{x-3} \)

Сокращаем \( x-3 \) и \( x+3 \):

\( \frac{1}{4(x+3)} \cdot x = \frac{x}{4(x+3)} \)

Ответ: \( \frac{x}{4(x+3)} \)