№ 15. Упростите выражения: 1) \(\frac{a}{a-1}-\frac{\sqrt a}{\sqrt a+1}\); 2) \(\frac{a+b}{\sqrt{ab}-b}-\frac{2\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b}\); 3) \(\frac{\sqrt x-6}{\sqrt x}-\frac{x-36}{4x}\); 4) \(\frac{\sqrt a-5}{\sqrt a+5}+\frac{20\sqrt a}{a-25}:\frac{\sqrt a+5}{a-5\sqrt a}\).

1. Пусть \(t=\sqrt a\). Тогда \(a=t^2\), поэтому

   \(\frac{t^2}{(t-1)(t+1)}-\frac{t}{t+1}=\frac{t^2-t(t-1)}{(t-1)(t+1)}=\frac{t}{t^2-1}=\frac{\sqrt a}{a-1}.\)

   Ограничения: \(a\ge 0\), \(a\ne1\).

2. Положим \(u=\sqrt a\), \(v=\sqrt b\). Тогда

   \(\frac{u^2+v^2}{v(u-v)}-\frac{2u}{u-v}=\frac{u^2+v^2-2uv}{v(u-v)}=\frac{(u-v)^2}{v(u-v)}=\frac{u-v}{v}.\)

   Ответ для подпункта: \(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt b}\). Требуется \(b>0\) и \(a\ne b\).

3. Положим \(t=\sqrt x\), где \(x>0\). Тогда

   \(\frac{t-6}{t}-\frac{(t-6)(t+6)}{4t^2}=\frac{(t-6)(4t-t-6)}{4t^2}=\frac{3(t-6)(t-2)}{4t^2}.\)

   Ответ для подпункта: \(\frac{3(\sqrt x-6)(\sqrt x-2)}{4x}\).

4. Положим \(t=\sqrt a\). Сначала выполним деление:

   \(\frac{20t}{(t-5)(t+5)}:\frac{t+5}{t(t-5)}=\frac{20t}{(t-5)(t+5)}\cdot\frac{t(t-5)}{t+5}=\frac{20t^2}{(t+5)^2}.\)

   Теперь сложим дроби:

   \(\frac{t-5}{t+5}+\frac{20t^2}{(t+5)^2}=\frac{(t-5)(t+5)+20t^2}{(t+5)^2}=\frac{21t^2-25}{(t+5)^2}.\)

   Ответ для подпункта: \(\frac{21a-25}{(\sqrt a+5)^2}\). Ограничения исходного выражения: \(a>0\), \(a\ne25\).

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt a}{a-1}\); 2) \(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt b}\); 3) \(\frac{3(\sqrt x-6)(\sqrt x-2)}{4x}\); 4) \(\frac{21a-25}{(\sqrt a+5)^2}\).