№ 16. Упростите выражения: 1) \(\frac{c}{c-4}-\frac{\sqrt c}{\sqrt c-2}\); 2) \(\frac{a+b}{2a+2\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt b}{\sqrt a+\sqrt b}\); 3) \(\frac{\sqrt m+9}{\sqrt m}:\frac{m-81}{5m}\); 4) \(\frac{\sqrt b+7}{\sqrt b-7}\cdot\frac{28\sqrt b}{b-49}:\frac{\sqrt b-7}{b+7\sqrt b}\).

1. Положим \(t=\sqrt c\). Тогда

   \(\frac{t^2}{(t-2)(t+2)}-\frac{t}{t-2}=\frac{t^2-t(t+2)}{(t-2)(t+2)}=-\frac{2t}{t^2-4}.\)

   Ответ для подпункта: \(-\frac{2\sqrt c}{c-4}\), где \(c\ge0\), \(c\ne4\).

2. Положим \(u=\sqrt a\), \(v=\sqrt b\). Приведём к общему знаменателю:

   \(\frac{u^2+v^2}{2u(u+v)}+\frac{2uv}{2u(u+v)}=\frac{(u+v)^2}{2u(u+v)}=\frac{u+v}{2u}.\)

   Ответ для подпункта: \(\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2\sqrt a}\), где \(a>0\), \(b\ge0\).

3. Положим \(t=\sqrt m\). Выполним деление дробей и разложим разность квадратов:

   \(\frac{t+9}{t}:\frac{t^2-81}{5t^2}=\frac{t+9}{t}\cdot\frac{5t^2}{(t-9)(t+9)}=\frac{5t}{t-9}.\)

   Ответ для подпункта: \(\frac{5\sqrt m}{\sqrt m-9}\), где \(m>0\), \(m\ne81\).

4. Положим \(t=\sqrt b\). Разложим знаменатели на множители:

   \(\frac{t+7}{t-7}\cdot\frac{28t}{(t-7)(t+7)}:\frac{t-7}{t(t+7)}=\frac{28t}{(t-7)^2}\cdot\frac{t(t+7)}{t-7}=\frac{28t^2(t+7)}{(t-7)^3}.\)

   Ответ для подпункта: \(\frac{28b(\sqrt b+7)}{(\sqrt b-7)^3}\), где \(b>0\), \(b\ne49\).

Ответ: 1) \(-\frac{2\sqrt c}{c-4}\); 2) \(\frac{\sqrt a+\sqrt b}{2\sqrt a}\); 3) \(\frac{5\sqrt m}{\sqrt m-9}\); 4) \(\frac{28b(\sqrt b+7)}{(\sqrt b-7)^3}\).