15 Узнайте: а) что меньше: $$\frac{7}{8}$$ или $$\frac{8}{9}$$ б) что больше: $$\frac{13}{14}$$ или $$\frac{25}{28}$$ или $$\frac{13}{15}$$ или $$\frac{21}{25}$$

Решение:

а) Сравним $$\frac{7}{8}$$ и $$\frac{8}{9}$$

1. Приведем дроби к общему знаменателю 72.
2. $$\frac{7}{8} = \frac{7 \times 9}{8 \times 9} = \frac{63}{72}$$
3. $$\frac{8}{9} = \frac{8 \times 8}{9 \times 8} = \frac{64}{72}$$
4. Так как $$\frac{63}{72} < \frac{64}{72}$$, то $$\frac{7}{8}$$ меньше, чем $$\frac{8}{9}$$.

б) Сравним $$\frac{13}{14}$$, $$\frac{25}{28}$$, $$\frac{13}{15}$$, $$\frac{21}{25}$$

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14, 28, 15, 25 равен 420.
2. $$\frac{13}{14} = \frac{13 \times 30}{14 \times 30} = \frac{390}{420}$$
3. $$\frac{25}{28} = \frac{25 \times 15}{28 \times 15} = \frac{375}{420}$$
4. $$\frac{13}{15} = \frac{13 \times 28}{15 \times 28} = \frac{364}{420}$$
5. $$\frac{21}{25} = \frac{21 \times 16.8}{25 \times 16.8} = \frac{352.8}{420}$$ (для удобства сравнения можно привести к более простому виду, но тут для наглядности)
6. В данном случае, проще сравнить, заметив, что все дроби близки к 1.
7. $$1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$$
8. $$1 - \frac{25}{28} = \frac{3}{28}$$
9. $$1 - \frac{13}{15} = \frac{2}{15}$$
10. $$1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25}$$
11. Теперь сравним эти разности.
12. $$\frac{1}{14} ≈ 0.0714$$
13. $$\frac{3}{28} ≈ 0.1071$$
14. $$\frac{2}{15} ≈ 0.1333$$
15. $$\frac{4}{25} = 0.16$$
16. Чем меньше разность с единицей, тем больше сама дробь.
17. Значит, $$\frac{1}{14}$$ самая маленькая разность, следовательно $$\frac{13}{14}$$ - наибольшая дробь.
18. Самая большая разность - $$\frac{4}{25}$$, следовательно $$\frac{21}{25}$$ - наименьшая дробь.
19. По возрастанию: $$\frac{21}{25}, \frac{13}{15}, \frac{25}{28}, \frac{13}{14}$$.

Ответ: а) $$\frac{7}{8}$$ меньше. б) $$\frac{13}{14}$$ больше.