15. В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Точка $M$ лежит на ребре $AS$, а точка $N$ — на ребре $AD$. а) Докажите, что расстояние между прямыми $MN$ и $BC$ равно длине отрезка $AB$. б) Найдите объём пирамиды $MABCN$, если $SA=15$, $SB=\sqrt{394}$, $SC=5\sqrt{10}$, $AM=2MS$ и $AN:ND=3:1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды.…$ Фото задания

15. В основании пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$, ребро $SD$ перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Точка $M$ лежит на ребре $AS$, а точка $N$ — на ребре $AD$. а) Докажите, что расстояние между прямыми $MN$ и $BC$ равно длине отрезка $AB$. б) Найдите объём пирамиды $MABCN$, если $SA=15$, $SB=\sqrt{394}$, $SC=5\sqrt{10}$, $AM=2MS$ и $AN:ND=3:1$.

Accepted Answer

а) Так как $SD\perp(ABCD)$, то $AB\perp SD$. В прямоугольнике также $AB\perp AD$, поэтому $AB\perp( SAD)$. Прямые $MN$ и $AD$ лежат в плоскости $(SAD)$, а $BC\parallel AD$. Следовательно, $AB$ перпендикулярен и $MN$, и $BC$. Перенесём точку $N$ на вектор $\overrightarrow{AB}$: её образ лежит на $BC$, а отрезок переноса перпендикулярен обеим прямым. Он является их общим перпендикуляром и равен $AB$. Значит, расстояние между $MN$ и $BC$ равно $AB$.

б) Обозначим $AD=a$, $AB=b$, $SD=h$. По теореме Пифагора:

$SA^2=a^2+h^2=225$,
$SB^2=a^2+b^2+h^2=394$,
$SC^2=b^2+h^2=250$.

Вычитая первое равенство из второго, получаем $b^2=169$, поэтому $AB=b=13$. Из третьего равенства $h^2=250-169=81$, значит, $SD=h=9$. Тогда $AD^2=225-81=144$, то есть $AD=12$.

Из $AM:MS=2:1$ следует, что высота пирамиды $MABCN$ к плоскости основания $(ABCD)$ равна $\frac{2}{3}SD=6$. Кроме того, из $AN:ND=3:1$ имеем $ND=\frac14AD=3$. Площадь основания $ABCN$ равна площади прямоугольника $ABCD$ минус площадь треугольника $DNC$:

$S_{ABCN}=12\cdot13-\frac12\cdot3\cdot13=\frac{273}{2}$.

Тогда объём:

$V_{MABCN}=\frac13\cdot\frac{273}{2}\cdot6=273$.

Ответ: а) расстояние между прямыми равно $AB$; б) $273$.