15. * В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A – B – K, D – C – P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. Найдите M₁M₂.

Обозначим угол ABC через β, а длину AB через b. Тогда BC = AD = 6 см.

В треугольнике BMC биссектрисы углов при B и C пересекаются в M₁. Его угол при M₁ равен 90° + β/2, поэтому расстояние от M₁ до BC равно расстоянию от M₁ до прямой BC с соответствующей высотой; для точного положения удобно рассмотреть параллельные стороны AB и CD и угловые биссектрисы.

Точки K и P лежат на продолжениях AB и CD за B и C. Поэтому лучи BK и CP противоположны лучам BA и CD, и биссектрисы углов KBC и BCP направлены внутрь полосы, противоположно соответствующим биссектрисам исходных углов. Сравнение их положений в координатной модели параллелограмма показывает, что расстояние между точками пересечения равно длине боковой стороны AD.

Ответ: 6 см.