15. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 77°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть AB = s. Тогда AC = 2s и CD = AB = s.

В треугольнике ACD угол между сторонами AC и CD равен 77°. По теореме косинусов:

AD² = (2s)² + s² − 2 · 2s · s · cos 77° = (5 − 4 cos 77°)s².

Пусть O — точка пересечения диагоналей. В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому AO = s, а DO = AD/2. Из теоремы о диагоналях параллелограмма получаем BD² = 2AB² + 2AD² − AC² = 2AD² − 2s² = 8(1 − cos 77°)s².

По теореме косинусов для треугольника AOD:

cos ∠AOD = (AO² + DO² − AD²)/(2 · AO · DO) = √((1 − cos 77°)/2) = sin 38,5° = cos 51,5°.

Значит, меньший угол между диагоналями равен 51,5°.

Ответ: 51,5°.