15. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 15, точка D — середина ребра CC₁. а) Пусть прямые BD и B₁C₁ пересекаются в точке E. Докажите, что угол EA₁B₁ — прямой. б) Найдите угол между плоскостями A₁B₁C₁ и BDA₁.

Введём координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(5,0,0)\), \(C=(2{,}5;\frac{5\sqrt3}{2};0)\). Поскольку призма правильная, боковые рёбра перпендикулярны основанию и равны 15. Тогда \(A_1=(0,0,15)\), \(B_1=(5,0,15)\), \(C_1=(2{,}5;\frac{5\sqrt3}{2};15)\), а середина ребра \(CC_1\) — \(D=(2{,}5;\frac{5\sqrt3}{2};7{,}5)\).

а) Точка на прямой \(BD\) задаётся параметрически: \(B+t(D-B)\). Её координата \(z\) равна \(7{,}5t\). На прямой \(B_1C_1\) координата \(z=15\), значит, при пересечении \(t=2\). Получаем \(E=(0;5\sqrt3;15)\).

Векторы \(\overrightarrow{A_1E}=(0;5\sqrt3;0)\) и \(\overrightarrow{A_1B_1}=(5;0;0)\) перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, \(\angle EA_1B_1=90^\circ\).

б) Плоскость \(A_1B_1C_1\) горизонтальна. Для плоскости \(BDA_1\) возьмём направляющие векторы \(\overrightarrow{A_1B}=(5;0;-15)\) и \(\overrightarrow{A_1D}=(2{,}5;\frac{5\sqrt3}{2};-7{,}5)\). Их векторное произведение пропорционально \((3;0;1)\), поэтому нормаль к плоскости \(BDA_1\) образует с вертикалью угол \(\alpha\), для которого \(\cos\alpha=1/\sqrt{10}\). Угол между плоскостью \(BDA_1\) и горизонтальной плоскостью равен дополнительному к \(\alpha\), поэтому его косинус равен \(3/\sqrt{10}\).

Ответ: а) \(\angle EA_1B_1=90^\circ\); б) \(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\) (примерно \(18{,}4^\circ\)).